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Il mwbapendolo semplice (o mwbqpendolo matematico) è un mwbgsistema fisico costituito da un filo inestensibile (e di massa nulla) e da una mwbwmassa puntiforme (mwcam) fissata alla sua estremità e soggetta all'mwcqattrazione gravitazionale (che supponiamo uniforme nello mwcgspazio e costante nel mwcwtempo). Questo sistema apparentemente banale è stato reso celebre dall'impegno sperimentale e teorico profuso dallo studioso mwdaGalileo Galilei, che ne ha correttamente descritto la proprietà principale, ovvero l'mwdqisocronismo.cite-ref-1[1]. Il pendolo è un'applicazione pratica del mwegmoto armonico.

• Impostazione delle equazioni del moto e loro soluzione

• Bilancio energetico

• Pendolo fisico

• Pendolo a torsione

• Pendolo cicloidale

• Note

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Se mwhgaccelerazione di gravità mwhw g {\displaystyle g} , velocità iniziale e direzione iniziale del filo sono complanari il pendolo oscilla in un piano verticale, descrivendo in particolare una mwiatraiettoria mwiqcircolare, a causa dell'inestensibilità del filo. Se si scelgono coordinate polari (come illustrato nel disegno), si possono scrivere le equazioni del moto, che assumono la seguente forma:

mwja m ( r ¨ ¨ − − r θ θ ˙ ˙ 2 ) = m g cos ⁡ ⁡ θ θ − − T f {\displaystyle m({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2})=mg\cos \theta -T_{f}}

mwjw m ( r θ θ ¨ ¨ + 2 r ˙ ˙ θ θ ˙ ˙ ) = − − m g sin ⁡ ⁡ θ θ {\displaystyle m(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }})=-mg\sin \theta }

La prima equazione corrisponde alla componente radiale di mwkq F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} } e la seconda alla componente tangenziale. mwkg T f {\displaystyle T_{f}} è la tensione del filo. Ora, essendo la lunghezza del filo mwkw r {\displaystyle r} costante nel tempo per ipotesi, si deve avere:

mwlg r ¨ ¨ = r ˙ ˙ = 0 {\displaystyle {\ddot {r}}={\dot {r}}=0}

ed inoltre le masse, che compaiono ad ambo i membri si semplificano. Si ottengono quindi le equazioni più semplici:

mwmg T f = m ( g cos ⁡ ⁡ θ θ + l θ θ ˙ ˙ 2 ) {\displaystyle T_{f}=m\left(g\cos \theta +l{\dot {\theta }}^{2}\right)}

mwnq l θ θ ¨ ¨ = − − g sin ⁡ ⁡ θ θ {\displaystyle l{\ddot {\theta }}=-g\sin \theta }

dove la lunghezza costante del filo è stata indicata, come è consuetudine, con la lettera mwnw l {\displaystyle l} invece che, come in precedenza, con mwoa r {\displaystyle r} . Notiamo ora che l'equazione che ci interessa, in quanto determina il moto angolare del pendolo (l'unico non banale, essendo il moto radiale nullo), è solo la seconda, mentre la prima risulterebbe utile solamente per determinare, in seguito, la tensione del filo. Scegliamo di approssimare la seconda equazione per piccoli angoli, ovvero considerando solo il termine lineare nello sviluppo in mwoqserie di Taylor del seno:

mwpa l θ θ ¨ ¨ = − − g θ θ {\displaystyle l{\ddot {\theta }}=-g\theta }

che è l'equazione differenziale dell'mwpgoscillatore armonico di mwpwpulsazione mwqa g / l {\displaystyle {\sqrt {g/l}}} . Diventa così possibile determinare anche il periodo T di una oscillazione completa, ovvero il tempo impiegato dal pendolo per andare da un estremo all'altro e ritornare nell'estremo iniziale (si sono trascurati gli attriti, nel qual caso il moto sarebbe stato armonico smorzato).

Si trova:

mwra T = 2 π π l g {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}

La legge di oscillazione è dunque indipendente dalla massa e, nell'ipotesi di piccoli angoli (tipicamente, non superiori a 10°), si riduce ad un oscillatore armonico, indipendente quindi anche dall'ampiezza dell'oscillazione.

Dalla relazione precedente è, dunque, possibile determinare, con un apparato di laboratorio come quello in foto, misurato il periodo T di una singola oscillazione e la lunghezza l del pendolo, il valore di g, che rappresenta la stima del valore dell'accelerazione di gravità del luogo in cui viene eseguita la misura sperimentale, ovvero:

mwsa g = 4 π π 2 l T 2 {\displaystyle g={\frac {4\pi ^{2}l}{T^{2}}}}

Ovviamente, al fine di ridurre gli errori di misura del periodo T, è bene misurare il tempo necessario all'apparato per compiere un cospicuo numero di oscillazioni (tipicamente 10-15 oscillazioni, dopo aver fatto compiere al pendolo alcune oscillazioni iniziali non cronometrate), ripetere più volte la misura e, quindi, dividere il tempo medio misurato per le mwsgn oscillazioni per il numero di oscillazioni stesse, determinando così il tempo necessario per una singola oscillazione, che rappresenta, appunto, il periodo T del pendolo considerato.

Se però l'ampiezza dell'oscillazione mwta θ θ m a x {\displaystyle \theta _{\mathrm {max} }} non è piccola, si può dimostrare che il periodo del pendolo dipende da essa secondo la formula

mwtw T = 4 l g K ( sin ⁡ ⁡ θ θ m a x 2 ) {\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {l}{g}}}K\left(\sin {\frac {\theta _{\mathrm {max} }}{2}}\right)}

dove mwuq K {\displaystyle K} è l'mwugintegrale ellittico completo di prima specie, valutato in mwuw sin 2 ⁡ ⁡ θ θ m a x 2 {\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\theta _{\mathrm {max} }}{2}}} . I primi due termini dello sviluppo in mwvaserie di potenze dell'integrale forniscono l'espressione

mwvw T = 2 π π l g ( 1 + θ θ m a x 2 16 ) {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}\left(1+{\frac {{\theta _{\mathrm {max} }}^{2}}{16}}\right)}

approssimata a meno di un infinitesimo dell'ordine di mwwq θ θ m a x 4 {\displaystyle {\theta _{\mathrm {max} }}^{4}} .

L'mwwwapprossimazione per piccoli angoli va bene per ottenere una formulazione semplice dell'integrazione dell'equazione differenziale.

La differenza tra il valore dell'angolo esatto e quello ottenuto tramite approssimazione non è impercettibile se il pendolo viene usato per orologi che devono contare tempi molto lunghi (vedi più avanti "Pendolo cicloidale").

Moltiplicando membro a membro la seconda equazione del moto per mwxw θ θ ˙ ˙ {\displaystyle {\dot {\theta }}} si ottiene:

mwyg l θ θ ˙ ˙ θ θ ¨ ¨ = − − g θ θ ˙ ˙ sin ⁡ ⁡ θ θ {\displaystyle l{\dot {\theta }}{\ddot {\theta }}=-g{\dot {\theta }}\sin \theta }

che, riconoscendo una derivata rispetto al tempo e moltiplicando membro a membro per mwza l {\displaystyle l} , si riconduce a:

mwzw d d t ( l 2 θ θ ˙ ˙ 2 2 − − g l cos ⁡ ⁡ θ θ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(l^{2}{\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{2}}-gl\cos \theta \right)=0}

ovvero la quantità tra parentesi risulta conservata nel tempo. Tale quantità, a meno di un fattore mwaq m {\displaystyle m} e di una eventuale costante additiva è l'energia del pendolo: il primo addendo costituisce l'mwagenergia cinetica ed il secondo l'mwawenergia potenziale gravitazionale.

Si può quindi verificare che, agli estremi dell'oscillazione, in cui mwbq θ θ ˙ ˙ = 0 {\displaystyle {\dot {\theta }}=0} per definizione, si ha solo energia potenziale, ovvero la particella ha solo energia di posizione e non di movimento; mentre, scegliendo uguale a mwbg + m g l {\displaystyle +mgl} la succitata costante additiva dell'energia, si può affermare che nel punto di minimo vi è solo mwbwmwcaenergia cinetica, cioè solo energia di movimento e non di posizione.

Il pendolo semplice non è che un caso particolare e ideale: nella realtà un qualunque oggetto fissato ad un punto di sospensione (non coincidente con il suo centro di massa) e soggetto alla gravità costituisce un pendolo, talvolta denominato mwdapendolo fisico e, viceversa, un pendolo reale non ha massa puntiforme (e il suo filo non ha massa nulla). Il modello del pendolo semplice deve quindi essere generalizzato (continuiamo comunque a trascurare gli attriti). In questo caso la forza di gravità agisce sul mwdqcentro di massa dell'oggetto e la componente di tale forza perpendicolare alla congiungente con il punto di sospensione risulta:

mwea F = − − m g sin ⁡ ⁡ ϑ ϑ {\displaystyle F=-mg\sin \vartheta }

Il mwegmomento meccanico risultante sul pendolo, considerato rispetto al punto di sospensione è pertanto:

mwfq M = − − m g d sin ⁡ ⁡ ϑ ϑ {\displaystyle M=-mgd\sin \vartheta }

dove mwfw d {\displaystyle d} rappresenta la distanza tra punto di sospensione e centro di massa (in generale ora il filo non è più nella direzione della gravità (verticale) quando mwga θ θ = 0 {\displaystyle \theta =0} , a meno che in questa posizione il filo non passi per il centro di massa). Applicando la seconda equazione cardinale si trova che:

mwgw I θ θ ¨ ¨ = − − m g d sin ⁡ ⁡ ϑ ϑ {\displaystyle I{\ddot {\theta }}=-mgd\sin \vartheta }

dove mwhq I {\displaystyle I} rappresenta il mwhgmomento di inerzia del pendolo rispetto al mwhwcentro di rotazione, che in questo caso è punto di sospensione. L'equazione si riduce in forma simile a quella dell'oscillatore armonico anche in questo caso, purché si considerino piccole oscillazioni. Si trova quindi:

mwig T = 2 π π I m g d {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgd}}}}

Confrontando questa formula con la corrispondente del pendolo semplice, si può concludere che il pendolo fisico oscilla con lo stesso periodo di un pendolo semplice di lunghezza:

mwjg l e q u i v . = I m d > d {\displaystyle l_{equiv.}={\frac {I}{md}}>d}

Tale lunghezza è detta mwkalunghezza ridotta o mwkqlunghezza equivalente. Dunque il pendolo fisico (ossia il pendolo reale) oscilla con una frequenza propria che è sempre minore di quella di una stessa massa tutta concentrata idealmente nel suo centro di massa, perché mwkg I C . M . > 0 {\displaystyle I_{C.M.}>0} .

Un pendolo a torsione è costituito da un filo inestensibile e di massa trascurabile alla cui estremità è fissato un mwlqcorpo rigido. Se si fa ruotare il corpo attorno all'asse passante per il filo, quest'ultimo si torce producendo un mwlgmomento torcente dato da mwlw τ τ → → = − − χ χ ϑ ϑ k ^ ^ {\displaystyle {\vec {\tau }}=-\chi \vartheta {\hat {k}}} , dove mwma χ χ = π π 2 G R 4 l {\displaystyle \chi ={\frac {\pi }{2}}G{\frac {R^{4}}{l}}} (nel caso il corpo rigido sia un disco) è detta mwmqcostante di torsione. Esso ha segno meno perché tende a far ruotare il corpo nel verso opposto al moto. Prendendo come polo il centro di rotazione e applicando la mwmgseconda equazione cardinale della dinamica mwmw M → → ( e ) = − − χ χ ϑ ϑ k ^ ^ = d L → → d t = d ( I ϑ ϑ ˙ ˙ k ^ ^ ) d t {\displaystyle {\vec {M}}^{(e)}\!\!=-\chi \vartheta {\hat {k}}={\frac {d{\vec {L}}}{dt}}={\frac {d(I{\dot {\vartheta }}{\hat {k}})}{dt}}} , otteniamo la seguente equazione differenziale:

mwng ϑ ϑ ¨ ¨ + χ χ I ϑ ϑ = 0 {\displaystyle {\ddot {\vartheta }}+{\frac {\chi }{I}}\vartheta =0} ,

dove mwoa I {\displaystyle I} è il momento d'inerzia del corpo rigido rispetto all'asse di rotazione, avente soluzione

mwow ϑ ϑ = ϑ ϑ m a x cos ⁡ ⁡ ( ω ω t + φ φ ) {\displaystyle \vartheta =\vartheta _{max}\cos {(\omega t+\varphi )}} .

Essa rappresenta l'equazione di un moto armonico semplice di pulsazione

mwpw ω ω = χ χ I {\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {\chi }{I}}}} .

Applicando il teorema di conservazione dell'energia meccanica (siccome non vi sono forze dissipative), ricaviamo che l'mwqqenergia potenziale torsionale dovuta al momento del filo risulta essere:

mwra U ( ϑ ϑ ) = 1 2 χ χ ϑ ϑ 2 {\displaystyle U(\vartheta )={\frac {1}{2}}\chi \vartheta ^{2}} .

Il mwrwpendolo mwsacicloidale è un tipo di moto periodico ideato da mwsqChristiaan Huygens intorno al mwsg1659 con una peculiare proprietà: le sue oscillazioni sono isocrone indipendentemente dalla loro ampiezza. Si è visto infatti che questo vale nel caso del pendolo semplice solo per ampiezze abbastanza piccole. Huygens dimostrò invece che un mwswpunto materiale che oscilla seguendo una traiettoria cicloidale sotto l'azione della gravità ha un periodo costante che dipende unicamente dalle dimensioni della cicloide.

L'equazione della cicloide in forma parametrica è

mwtw x = a ( θ θ − − sin ⁡ ⁡ θ θ ) ; y = a ( 1 + cos ⁡ ⁡ θ θ ) {\displaystyle x=a(\theta -\sin {\theta })\;;\;y=a(1+\cos {\theta })}

dove mwuqa è la lunghezza del raggio della mwugcirconferenza che genera la cicloide. Siano quindi mwuwx e mwvay le coordinate del punto di massa mwvqm che oscilla sotto l'azione della gravità. L'energia potenziale del punto è

mwwa U = m g y {\displaystyle U=mgy}

mentre l'energia cinetica è

mwxa K = 1 2 m ( x ˙ ˙ 2 + y ˙ ˙ 2 ) {\displaystyle K={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})} .

Poiché

mwya x ˙ ˙ = a θ θ ˙ ˙ ( 1 − − cos ⁡ ⁡ θ θ ) ; y ˙ ˙ = − − a θ θ ˙ ˙ sin ⁡ ⁡ θ θ {\displaystyle {\dot {x}}=a{\dot {\theta }}(1-\cos {\theta })\;;\;{\dot {y}}=-a{\dot {\theta }}\sin {\theta }}

si ha

mwza x ˙ ˙ 2 + y ˙ ˙ 2 = 2 a 2 θ θ ˙ ˙ 2 ( 1 − − cos ⁡ ⁡ θ θ ) {\displaystyle {\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}=2a^{2}{\dot {\theta }}^{2}(1-\cos {\theta })}

e ricordando le trasformazioni

mw0a cos ⁡ ⁡ θ θ 2 = 1 + cos ⁡ ⁡ θ θ 2 {\displaystyle \cos {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos {\theta }}{2}}}}

mw0w sin ⁡ ⁡ θ θ 2 = 1 − − cos ⁡ ⁡ θ θ 2 {\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos {\theta }}{2}}}}

si ottiene

mw1w U = 2 m g a ( cos ⁡ ⁡ θ θ 2 ) 2 ; K = 2 m a 2 θ θ ˙ ˙ 2 ( sin ⁡ ⁡ θ θ 2 ) 2 {\displaystyle U=2mga\left(\cos {\frac {\theta }{2}}\right)^{2}\;;\;K=2ma^{2}{\dot {\theta }}^{2}\left(\sin {\frac {\theta }{2}}\right)^{2}} .

Introducendo

mw2w q = cos ⁡ ⁡ θ θ 2 {\displaystyle q=\cos {\frac {\theta }{2}}} ,

si ottiene

mw3w q ˙ ˙ = − − 1 2 θ θ ˙ ˙ sin ⁡ ⁡ θ θ 2 {\displaystyle {\dot {q}}=-{\frac {1}{2}}{\dot {\theta }}\sin {\frac {\theta }{2}}} .

La grandezza mw4qq si può considerare mw4gcoordinata generalizzata del punto oscillante, e la sua derivata mw4w q ˙ ˙ {\displaystyle {\dot {q}}} come velocità generalizzata. Allora

mw5q U = 2 m g a q 2 ; K = 8 m a 2 q ˙ ˙ 2 {\displaystyle U=2mgaq^{2}\;;\;K=8ma^{2}{\dot {q}}^{2}} .

L'energia potenziale è una funzione quadratica della coordinata mw5wq, e l'energia cinetica è una funzione quadratica della sua derivata (e i coefficienti sono costanti). Da ciò risulta che le oscillazioni del pendolo sono isocrone e armoniche di periodo

mw6q T = 2 π π 4 a g {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {4a}{g}}}} .v

Huygens utilizzò la sua scoperta per realizzare orologi a pendolo molto precisi. Per costruire il pendolo cicloidale occorre sospendere il pendolo ad un filo posto fra due archi di cicloide, in modo tale che esso segua il loro profilo facendo percorrere anche al peso attaccato una traiettoria cicloidale.

cite-note-11. ↑ A seguito di un'erronea interpretazione della raffigurazione nei trattati medievali arabi di alcuni sistemi di mw8qfilo a piombo per la determinazione del piano orizzontale in strumenti astronomici, in alcuni testi moderni si attribuisce la scoperta del pendolo come sistema di misura del tempo al grande astronomo egiziano mw8gIbn Yunus (mw8w950-mw9a1009) (cfr. Adolf Müller, mw9qElementi di astronomia ad uso delle scuole e per istruzione privata, Volume 1, ed. Desclée Lefebure e c., p. 106). Questa attribuzione è stata confutata in King, D. A. (1979). "Ibn Yunus and the pendulum: a history of errors". Archives Internationales d'Histoire des Sciences 29 (104): 35–52.

• mw-qIsocronismo

• mw-wPendolo di Wilberforce

• mw-qMoto armonico

• mw-wDoppio pendolo

• mwaqePendolo composto

• mwaqmPendolo balistico

• mwaquPendolo orizzontale

• mwaqcPendolo di Foucault

• mwaqkPendolo di Kater

• mwaqsPendolo di Newton

• mwaq0Equazione di sine-Gordon

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• citerefbritannica-com(EN) physical pendulum / pendulum, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

• mwarqApplet di meccanica mwaruArchiviato il 19 novembre 2011 in Internet Archive..

• mwargPendolo di Kater - Misura della costante di accelerzione gravitazionale locale mediante il pendolo reversibile, su fisica.uniud.it.

• mwaroPendolo cicloidale, su php.math.unifi.it.